Teori Himpunan

Kali ini aku mau ngepos bahan dari tugas kul statistikaku... moga ini bermanfaat bagi reader....

 1. Definisi Humpunan

Himpunan adalah konsep dasar dari semua cabang matematika. Gerorg Cantor dianggap sebagai bapak teori himpunan. Himpunan adalah suatu koleksi / kumpulan objek-objek dari intuisi atau pikiran kita yang dapat dibedakan antara yang satu dan lainnya.  Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Himpunan diberi simbol dengan huruf besar dari abjad: A, B, ..., Z. Contohnya: Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8, 10}. Jika x merupakan anggota himpunan A, maka ditulis x Î A. Dan jika x bukan merupakan anggota himpunan A, maka ditulis x Ï A. Untuk mendefinisikan himpunan digunakan 4 cara, yaitu : (1) Mendaftarkan semua anggotanya. (2) Menyatakan sifat yang dimiliki anggotanga. (3) Menyatakan sifat dengan pola (4) Menggunakan notasi pembentuk himpunan.

2. Macam-Macam Himpunan Berdasarkan Jumlah Anggotanya

• Himpunan kosong, yaitu himpunan yang tidak mempunyai anggota. Dilambangkan dengan “ ” atau { }.

         Contoh : bilangan prima genap > 10

• Himpunan semesta, yaitu himpunan yang anggotanya semua objek pembicaraan. Himpunan semesta dilambangkan dengan S atau U.

Contoh : S = {-4, 5, 7, 9}  dan A = {7, 9}  maka S merupakan semesta dari himpunan A

• Himpunan berhingga dan himpunan tak berhingga. Himpunan dikatakan berhingga jika himpunan tersebut mempunyai anggota yang banyaknya berhingga. Himpunan dikatakan  tak berhingga jika himpunan tersebut mempunyai anggota yang banyaknya tidak berhingga.

         Contoh : H = {x | x= 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}, H disebut himpunan tidak  berhingga.

                        A = {x | x= 1, 2, 3, 4, ..., 10}, A disebut himpunan berhingga.

• Himpunan bagian (Subset). Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B ditulis “A⊂B”, jika setiap anggota A merupakan anggota dari B.

Contoh : A = {2, 3, 5} dan B = {1, 2, 3, 4, 5}. Maka A⊂B.

P = {2, 3, 5, 7} dan Q = { 1, 3, 5, 7, 9}. Maka P⊄Q

• Dua himpunan A dan B dikatakan sama, ditulis “A=B”, jika dan hanya jika A⊂B dan B⊂A.

          Contoh : A = {2, 3, 5,7} dan B = {2, 3, 5, 7}. Maka A=B.

• Himpunan berpotongan. Dua himpunan A dan B dikatakan berpotongan ditulis “A∝B” jika dan hanya jika ada anggota yang menjadi anggota B.

          Contoh : A = {2, 3, 5,} dan B = {1, 3, 5, 7, 9}. Maka A∝B.

• Himpunan lepas. Dua himpunan A dan B dikatakan lepas ditulis “//” jika dan hanya jika kedua anggota himpunan tersebut tidak kosong dan tidak mempunyai anggota yang sama.

          Contoh: A = {3, 5, 7,11} dan B = {2, 4, 6, 8}. Maka A ∕∕ B.

3. Operasi Dalam Himpunan

• Gabungan (Union). Diberikan himpunan A dan B. Gabungan himpunan A dan B ditulis dengan A∪B adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas anggota A atau atau anggota B, atau anggota sekaligus kedua-duanya. Jadi A∪B={x | x∈A atau x∈B}.

Contoh: A = {a,b,c,1,2} dan B = {c,d,e,f}. Maka A∪B = {a,b,c,d,e,f,1,2}.

• Irisan (Intersection). Diberikan himpunan A dan B. Irisan himpunan A dan B ditulis dengan A∩B adalah suatu himpunan yang anggotanya teerdiri atas anggota A dan sekaligus anggota B. Jadi A∩B = { x | x ∩ A dan x ∩B }

         Contoh: A={a,b,c,1, 2}  dan  B={c,d,e,f}.  Maka A∩B={c}.

• Komplemen. Diberikan suatu himpunan A. Komplemen dari A ditulis dengan “A^c  atau A' ” adalah himpunan yang anggota-anggotanya berada dalam himpunan semesta tetapi bukan anggota A. Jadi A^c ={x ┤| x∈S, x∉A} 

Contoh: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}  dan A = {2, 4, 6, 8, 10} maka A^c={1, 3, 5, 7, 9}.

• Selisih dua himpunan. Selisih dua himpunan A dan himpunan B ditulis “A-B” atau “A∩B^c” adalah himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas A dan bukan anggota B. Jadi A-B={x | x∈A dan x∉B}.

         Contoh:  A = {2, 3, 5, 7} dan B = {2, 4, 6, 8}. A-B={3, 5, 7}  ;  B-A={4, 6, 8}

• Jumlah dua himpunan. Jumlah dua himpunan A dan himpunan B ditulis “AÅB” adalah himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas anggota A yang bukan anggota B dan anggota B yang bukan anggota A. Jadi AÅB={x |x∈(A-B) atau x∈(B-A)}.

         Contoh: A = {2, 3, 5, 7} dan B = {2, 4, 6, 8}.  maka AÅB={3, 4, 5, 6, 7, 8}.

4.  Hukum-Hukum Aljabar Himpunan

• Hukum Idempoten : (a). A∪A=A ; (b).A∩A=A.

• Hukum Assosiatif : (a). (A∪B)∪C=A∪(B∪C) ; (b). (A∩B)∩C=A∩(B∩C)

•  Hukum Komutatif : (a). A∪B=B∪A ; (b). A∩B=B∩A

• Hukum Distributif : (a). (A∪B)∩C=(A∩B)∪(A∩C)

                   (b). A∪(B∩C)=(A∪B)∩(B∪C)

          (c). (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C).

Semoga Postingan kali ini bermanfaat....

Jangan lupa tinggalkan komennya ya.... :)

Kamu juga bisa download versi PDFnya disini [Download]